Question

已知函数f（x）=x³-3x²+a（a∈R）
①若f（x）的图象在（1，f（1））处的切线经过点（0，2），则a=

 

；
②若对任意x₁∈[0，2]，都存在x₂∈[2，3]使得f（x₁）+f（x₂）≤2，则实数a的范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：①求出导数，求出切线的斜率和切点，再由两点斜率公式，即可得到a；
②运用导数判断f（x）在[0，2]，在[2，3]的单调性，求出最值，由题意得，f（x₁）_max+f（x₂）_min≤2，
得到不等式，解出即可．

解答： 解：①函数f（x）=x³-3x²+a的导数f′（x）=3x²-6x，
在（1，f（1））处的切线斜率为3-6=-3，
切点（1，a-2），由两点的斜率公式，得-3=

a-4

1

，
则a=1；
②导数f′（x）=3x²-6x，
当x∈[0，2]，f′（x）≤0，f（x）递减，
当x∈[2，3]，f′（x）≥0，f（x）递增．
则f（x₁）的最大值为f（0）=a，
f（x₂）的最小值为f（2）=a-4，
则由题意得，f（x₁）_max+f（x₂）_min≤2，
即有a+a-4≤2，
解得，a≤3．
故答案为：1，a≤3

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，最值，考查恒成立和存在思想，注意转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．