Question

13．已知f（x）=2+$\sqrt{x}$，x∈[1，16]，则y=[f（x）]²+f（x²）的值域是[12，22]．

Answer 1

分析 由题意求出函数的解析式，注意定义域，换元由二次函数的知识可得．

解答 解：∵f（x）=2+$\sqrt{x}$，x∈[1，16]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（2+$\sqrt{x}$）²+2+x
=2x+4$\sqrt{x}$+6=2（$\sqrt{x}$+1）²+4，
由x∈[1，16]和x²∈[1，16]可得x∈[1，4]，
∴t=$\sqrt{x}$∈[1，2]，
研究二次函数y=2（t+1）²+4，t∈[1，2]，
可得当t=1时，函数取最小值12，当t=2时，函数取最小值22，
故函数的值域为：[12，22]．
故答案为：[12，22]．

点评 本题考查函数的值域，涉及二次函数和换元法，求出函数的定义域是解决问题的关键，属易错题中档题．