Question

7．在数列{a_n}中，对任意n∈N^*，若存在常数λ₁，λ₂，…，λ_k，使得a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n（λ_i≠0，i=1，2，…，k）恒成立，则称数列{a_n}为k阶数列．
①若a_n=2ⁿ，则数列{a_n}为1阶数列；
②若a_n=2n+1，则数列{a_n}为2阶数列；
③若a_n=n²，则数列{a_n}为3阶数列；
以上结论正确的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ①②③

Answer 1

分析 利用等差数列、等比数列和数列{a_n}的通项公式为a_n=n²的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．

解答 解：①∵a_n=2ⁿ，
∴a_n+1=2a_n，
∴?k=1，λ=2，使a_n+k=2a_n+k-1成立，
∴{a_n}为1阶递归数列，故①成立；
②∵a_n=2n+1，
∴a_n=3+2（n-1），
∴?k=2，λ₁=2，λ₂=-1，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2成立，
∴{a_n}为2阶递归数列，故②成立；
③∵若数列{a_n}的通项公式为a_n=n²，
∴?k=3，λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=1，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+λ₃a_n+k-3成立，
∴{a_n}为3阶递归数列，故③成立．
故选D．

点评 本题考查新定义的理解和运用，数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k阶递归数列的定义．