Question

12．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2ⁿa_n（k∈N^*）．
（1）求a_n；
（2）若b_n=log₂（$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$），又数列{c_n}的前n项和为b_n，求数列{|c_n|}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用恒等式a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$…$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$，结合等差数列的求和公式，可得通项；
（2）求得b_n=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，运用通项和求和的关系，可得c_n=n-3，再讨论当n≤3时，当n＞3时，运用等差数列的求和公式，计算即可得到所求．

解答 解：（1）由题意可得a_n=a₁•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•…•$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$
=1•2•4•…•2^n-1=2^1+2+…+n-1=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$，
可得a_n=${2}^{\frac{n（n-1）}{2}}$；
（2）b_n=log₂（$\frac{{a}_{n}}{{4}^{n}}$）=log₂${2}^{\frac{{n}^{2}-5n}{2}}$=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$，
当n=1时，c₁=b₁=-2；
当n＞1时，c_n=b_n-b_n-1=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$-$\frac{（n-1）^{2}-5（n-1）}{2}$
=n-3．对n=1也成立，
则c_n=n-3，
当n≤3时，前n项和S_n=-b_n=$\frac{5n-{n}^{2}}{2}$；
当n＞3时，S_n=b_n-2b₃=$\frac{{n}^{2}-5n}{2}$+6=$\frac{{n}^{2}-5n+12}{2}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式的运用，考查累乘法的运用和分类讨论的思想方法，属于中档题．