Question

（2010•重庆三模）已知：①函数f（x）-x²-alnx在区间（1，2]上是增函数，②函数g（x）=x-a

x

在区间（0，1]上是减函数．
（Ⅰ）在条件①②下，求a的值；
（Ⅱ）在条件①下，设h（x）=e^2x+|e^x-a|，x∈[0，ln3]，求函数h（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出导函数f'（x），根据题意可知当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，可求出a的取值范围，同理根据题意可知x∈（0，1]时，g'（x）≤0恒成立，从而求出a的取值范围，结合两者可求出a的值；
（Ⅱ）设t=e^x，由x∈[0，ln3]则t∈[1，3]，则m（t）=t²+|t-a|，讨论a，利用函数的单调性分别求出函数的最值即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=2x-

a

x

，依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，
即a≤（2x²）_min⇒a≤2；…①…（3分）
g'（x）=1-

a

2 x

依题意，当x∈（0，1]时，g'（x）≤0恒成立，⇒a≥2；…②…（5分）
由①②得：a=2…（6分）
（Ⅱ）设t=e^x，由x∈[0，ln3]，知t∈[1，3]，则m（t）=t²+|t-a|
当a≤1时，m（t）=t²+t-a在[1，3]上是增函数，
∴m（t）_min=m（1）=2-a…（8分）
当1＜a≤2时，m（t）=

t2-t+a   (1≤t≤a) t2+t-a    (a＜t≤3)

…（10分）
∵m（t）在[a，3]上是增函数，在[1，a]上也是增函数，又m（t）在[1，3]上是连续函数，
∴m（t）在[1，3]上是增函数，
∴m（t）_min=m（1）=a；
综上所述：h（x）_min=

2-a (a≤1) a     (1＜a≤2)

…（12分）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数求闭区间上函数的最值，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．