Question

（2012•湛江二模）如图，五面体ABCD中，ABCD是以点H为中心的正方形，EF∥AB，EH丄平面ABCD，AB=2，EF=EH=1．
（1）证明：平面ADF丄平面ABCD；
（2）求五面体EF-ABCD的体积；
（3）设N为EC的中点，若在平面ABCD内存在一点M，使MN丄平面BCE，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）取AD的中点G，连接BD、GH、GF，利用正方形的性质结合三角形中位线定理，可证出四边形EFGH为平行四边形，从而EH∥FG，结合EH⊥平面ABCD，得到FG⊥平面ABCD，最后根据面面垂直的判定定理，得到平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD内过点H作直线IJ∥AD，分别交AB、CD于I、J．由（1）的证明过程，可得三棱柱ADF-IJE是直三棱柱，从而得到它的体积为：S_△IJE×EF=

1

2

IJ×EH×EF=1．又因为四棱锥E-IJCB的体积为：

1

3

S_IJCB×EH=

2

3

，相加即得五面体EF-ABCD的体积．
（3）以G为原点，AD所在直线为x轴，建立如图坐标系，分别得出B、C、E、N各点的坐标，设M（x，y，0），若MN⊥平面BCE，则MN⊥EB且MN⊥EC，利用向量数量积为0，联列方程组，解之得x=-

1

2

，y=1．从而得到向量

NM

的坐标，利用向量模的公式，可得MN的长．

解答：解：（1）由题意，得：EF∥AB，且EF=

1

2

AB，
取AD的中点G，连接BD、GH、GF，
∵H是正方形ABCD的中心，
∴H是BD的中点，得到△ABD中，GH是中位线，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB，
∴EF∥GH且EF=GH，可得四边形EFGH为平行四边形，
∴EH∥FG，
又∵EH⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，
∵FG?平面ADF，∴平面ADF丄平面ABCD；
（2）在平面ABCD内过点H作直线IJ∥AD，分别交AB、CD于I、J．
由（1）的证明过程，得EF∥AI∥DJ，且EF=AI=DJ=1
∵EF⊥平面ADF，∴三棱柱ADF-IJE是直三棱柱
∴V_{三棱柱ADF-IJE}=S_△IJE×EF=

1

2

IJ×EH×EF=

1

2

×2×1×1=1．
又∵V_{四棱锥E-IJCB}=

1

3

S_IJCB×EH=

1

3

×

1

2

S_ABCD×EH=

2

3

．
∴五面体EF-ABCD的体积为V=V_{三棱柱ADF-IJE}+V_{四棱锥E-IJCB}=1+

2

3

=

5

3

．
（3）以G为原点，AD所在直线为x轴，建立如图坐标系，则
B（1，2，0），C（-1，2，0），E（0，1，1），N（-

1

2

，

3

2

，

1

2

），
设M（x，y，0），可得

EB

=(1，1，-1)，

EC

=(-1，1，-1)，

NM

=(x+

1

2

，y-

3

2

，-

1

2

)
若MN⊥平面BCE，则

EB • NM =x+ 1 2 +y- 3 2 + 1 2 =0 EC • NM =-x- 1 2 +y- 3 2 + 1 2 =0

，
解之得：x=-

1

2

，y=1．
∴向量

NM

=(0，-

1

2

，-

1

2

)，
因此MN=

|NM|

=

02+(-  1 2 )2+(- 1 2 )2

=

2

2

点评：本题给出一个由直三棱柱和四棱锥拼接而成的五面体，通过证明面面垂直和求体积，着重考查了组合几何体的体积公式，以及平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．