Question

【题目】已知定义在（﹣1，1）上的奇函数f（x），在x∈（﹣1，0）时，f（x）=2x+2﹣x．

（1）求f（x）在（﹣1，1）上的表达式；

（2）用定义证明f（x）在（﹣1，0）上是减函数；

（3）若对于x∈（0，1）上的每一个值，不等式m2xf（x）＜4x﹣1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析（3）m≥0

【解析】

试题分析：（1）根据函数的奇偶性求出f（x）的表达式即可；（2）根据函数的单调性的定义证明函数的单调性即可；（3）问题掌握，根据函数的单调性求出m的范围即可

试题解析：（1）由f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，得f（0）=0，

设x∈（0，1），则﹣x∈（﹣1，0），

所以f（﹣x）=﹣f（x）=2x+2﹣x，f（x）=﹣（2x+2﹣x）

故…

（2）设x1，x2是（﹣1，0）上任意两个实数，且x1＜x2，

，

∵，f（x1）﹣f（x2）＞0，

所以f（x）在x∈（﹣1，0）是减函数．…

（3）由m2xf（x）＜4x﹣1，

化简得，

因为x∈（0，1），4x+1∈（2，5），

所以，

故m的取值范围m≥0．…