Question

18.如图所示四面体ABCD中，AB、BC、BD两两互相垂直，且AB＝BC＝2，E是AC中点，异面直线

AD与BE所成的角的大小为arccos.求四面体ABCD的体积.

Answer 1

18.解法一：如图建立空间直角坐标系.             

由题意，有A（0，2，0），C（2，0，0），E（1，1，0）.

设D点的坐标为（0，0，z）（z>0），

则＝｛1，1，0｝，＝｛0，－2，z｝. 　　　　　　

设与所成的角为，

则·＝＝－2，

且AD与BE所成的角的大小为，

∴，

得z=4，故BD的长度是4. 　　　　　　　　　　　　　　　

 

又V_ABCD＝，

因此四面体ABCD的体积是.　　　　　　　　　　　　

解法二：过A引BE的平行线，交CB的延长线于F.

∠DAF是异面直线BE与AD所成的角.

∴∠DAF＝.　　　　　　　　　　　　　　　　

∵E是AC的中点，∴B是CF的中点.

AF＝2BE＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又BF、BA分别是DF、DA的射影，且BF＝BC＝BA，

∴DF＝DA.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三角形ADF是等腰三角形，

AD＝，

故BD＝.　　　　　　　　　　　　　　　

又V_ABCD＝，

因此四面体ABCD的体积是.