Question

过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点M作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点．过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，则△POQ的面积的最小值为

2

3

．

Answer 1

分析：由点M在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，知M（3cosθ，2sinθ），过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点M（3cosθ，2sinθ）作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，知直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，由此求出直线l在x、y轴上的截距，则△POQ面积的最小值可求．

解答：解：∵点M在椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上，∴设M（3cosθ，2sinθ），
∵过椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上一点M（3cosθ，2sinθ）作圆x²+y²=2的两条切线，点A，B为切点，
则|PA|²=|OP|²-2=9cos²θ+4sin²θ-2，
∴以P为圆心，以|PA|为半径的圆的方程为（x-3cosθ）²+（y-2sinθ）²=9cos²θ+4sin²θ-2  ①．
又圆的方程为x²+y²=2  ②．
①-②得，直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2，
∵过A，B的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q两点，
∴P（

2

3cosθ

，0），Q（0，

1

sinθ

），
∴△POQ面积S=

1

2

×|

2

3cosθ

|×|

1

sinθ

|=

2

|3sin2θ|

，
∵-1≤sin2θ≤1，
∴当sin2θ=±1时，△POQ面积取最小值

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：本题考查了圆与圆锥曲线的综合，考查了数学转化思想方法，解答的关键是求出经过两个切点A，B的直线方程，考查了学生的计算能力，是中高档题．