Question

【题目】已知(x+1)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+...+an(x-1)n ，（其中 ）.
（1）求 a0 及Sn=a1+a2+...+an ；
（2）试比较 Sn 与(n-2)2n+2n2 的大小，并用数学归纳法给出证明过程.

Answer 1

【答案】
（1）

【解答】取 x=1 ，则a0=2n ；

取 x=2 ，a0+a1+...+an=3n ， 所以Sn=a1+a2+...+an=3n-2n

（2）

【解答】

要比较 Sn 与 (n-2)2n+2n2 的大小，即比较 3n 与(n-1)2n+2n2 的大小.

当 n=1 时，3n>(n-1)2n+2n2 ；

当 n=2,3 时， 3n<(n-1)2n+2n2 ；

当 n=4,5 时， 3n>(n-1)2n+2n2 ；

猜想：当 时， 3n>(n-1)2n+2n2 ，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知， n=4 时结论成立；

假设当n=k( ) 时结论成立，即 3k>(k-1)2k+2k2

两边同乘以3得：3k+1>3(k+1)2k+6k2=k2k+1+2(k+1)2+[(k-3)2k+4k2-4k-2]

时，(k-3)2k>0 ， ，所以(k-3)2k +4k2-4k-2>0

所以3k+1>k2k+1+2(k+1)2 ，即 n=k+1 时结论也成立.

当 时， 3n>(n-1)2n+2n2 成立.

综上所述，当 n=1 或 时， 3n>(n-1)2n+2n2 ；

当 n=2,3 时， 3n<(n-1)2n+2n2 .

【解析】本题主要考查了归纳推理，解决问题的关键是（1）采用赋值法，令 ，右边= =左边= ， 也采用赋值法，令 ；
（2）根据（1）得到 ，等于比较 与 的大小，首先赋几个特殊值，采用不完全归纳法，得到答案，然后再用数学归纳法证明.
【考点精析】利用归纳推理对题目进行判断即可得到答案，需要熟知根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理．