Question

一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进（如图），现在小船在水平P点以南的40米处，汽车在桥上以西Q点30米处（其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为       . （不考虑汽车与小船本身的大小）.

Answer 1

30 m

解析:

设经过时间t汽车在A点，船在B点，（如图），则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥AQ，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α  作AC∥PQ，则AC⊥α  连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，

∴AB²=AC²+BC²=PQ²+PB²+PC²=20²+（40–10t）²+(30–20t)²

=100［5(t–2)²+9］,t=2时AB最短，最短距离为30 m.