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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不动，在侧棱与底面所成的角保持为60°的情况下，上底面A₁B₁C₁还是可以移动的，则△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的面积为________．

$\text{[math]}$
分析：由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不动，又由侧棱与底面所成的角为60°，我们可以分析出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的形状，进而求出其面积．
解答：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，
当下底面ABC在水平面上保持不动，
且侧棱与底面所成的角为60°时，
△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域如下图所示：

由图可知该区域有一个边长为2a的正三角形，三个两边长分别为2a，a的矩形，和三个半径为a，圆心角为120°的扇形组成
其面积S= $\text{[math]}$ •（2a）²+3•（2a）•a+π•a²= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面夹角，其中根据侧棱与底面的夹角，则上顶点在下底面上的投影是一个以下顶点为圆心，以a为半径的圆，进而画出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的形状，是解答本题的关键．

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．
（1）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，求证：BC⊥AC₁；
（2）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若D是底边AB的中点，求证：AC₁∥平面CDB₁．
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AA1

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在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）求点C到平面A₁ABB₁的距离；
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（3）若M，N分别为直线AA₁，B₁C上动点，求MN的最小值．

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（2012•江西）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=

，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

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（2013•北京）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC₁上存在点D，使得AD⊥A₁B，并求

BC1

的值．

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在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不动，在侧棱与底面所成的角保持为60°的情况下，上底面A1B1C1还是可以移动的，则△A1B1C1在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的面积为________．