Question

16．已知函数$f（x）=-\frac{2f'（1）}{3}\sqrt{x}-{x^2}$的最大值为f（a），则a等于（　　）

• A． $\frac{1}{16}$
• B． $\frac{{\root{3}{4}}}{4}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{{\root{3}{4}}}{8}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，计算f′（1）的值，从而求出函数f（x）的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值点即可．

解答 解：∵f′（x）=-$\frac{2f′（1）}{3}$•$\frac{1}{2\sqrt{x}}$-2x，
∴f′（1）=-$\frac{1}{3}$f′（1）-2，
解得：f′（1）=-$\frac{3}{2}$，
故f（x）=$\sqrt{x}$-x²，
f′（x）=$\frac{1-4x\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
故f（x）在[0，$\frac{\root{3}{4}}{4}$）递增，在（$\frac{\root{3}{4}}{4}$，+∞）递减，
故f（x）的最大值是f（$\frac{\root{3}{4}}{4}$），
a=$\frac{\root{3}{4}}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．