以平面直角坐标系的原点为极点.x轴的正半轴为极轴.建立极坐标系.两种坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$.).曲线C2的极坐标方程为ρ=-2sinθ．(1)求C1的极坐标方程与C2的直角坐标方程,(2))若P是C1上任意一点.过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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4．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα\\ y=sinα\end{array}\right.$，（α为参数，且α∈[0，π）），曲线C₂的极坐标方程为ρ=-2sinθ．
（1）求C₁的极坐标方程与C₂的直角坐标方程；
（2））若P是C₁上任意一点，过点P的直线l交C₂于点M，N，求|PM|•|PN|的取值范围．

分析（1）求出C₁的普通方程，即可求C₁的极坐标方程，利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法得出C₂的直角坐标方程；
（2）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入C₂的直角坐标方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，即可求|PM|•|PN|的取值范围．

解答解：（1）消去参数可得x²+y²=1，因为α∈[0，π），所以-1≤x≤1，0≤y≤1，
所以曲线C₁是x²+y²=1在x轴上方的部分，
所以曲线C₁的极坐标方程为ρ=1（0≤θ≤π）．…（2分）
曲线C₂的直角坐标方程为x²+（y+1）²=1…（5分）
（2）设P（x₀，y₀），则0≤y₀≤1，直线l的倾斜角为α，
则直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+tcosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）．…（7分）
代入C₂的直角坐标方程得（x₀+tcosα）²+（y₀+tsinα+1）²=1，
由直线参数方程中t的几何意义可知|PM|•|PN|=|1+2y₀|，
因为0≤y₀≤1，所以|PM|•|PN|=∈[1，3]…（10分）

点评本题考查三种方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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