Question

12．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P-AE-C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．
（1）证明：点H为EB的中点；
（2）） 若$AB=AC=2\sqrt{2}，AB⊥AC$，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：∠CEP为二面角C-AE-P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；
（2）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．

解答 （1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．
∴AE⊥面EPB．
故∠CEP为二面角C-AE-P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．
由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…（3分）
∴EH=$\frac{1}{2}$EP=$\frac{1}{2}EB$．
∴H为EB的中点．…（6分）
（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，
则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，
∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．
∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…（9分）
依题意，BE=$\frac{1}{2}$BC=2，BH=$\frac{1}{2}$BE=1．
在△HMB中，HM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在△EPB中，PH=$\sqrt{3}$，
∴在Rt△PHM中，HN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴sin∠HBN=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．