Question

13．若数列{a_n}的首项a₁=2，且${a_{n+1}}=3{a_n}+2（{n∈{N^*}}）$；令b_n=log₃（a_n+1），则b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀=5050．

Answer 1

分析 推导出{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，从而得b_n=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，由此能求出b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀．

解答 解：∵数列{a_n}的首项a₁=2，且${a_{n+1}}=3{a_n}+2（{n∈{N^*}}）$，
∴a_n+1+1=3（a_n+1），a₁+1=3，
∴{a_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴${a}_{n}+1={3}^{n}$，
∴b_n=log₃（a_n+1）=$lo{g}_{3}{3}^{n}$=n，
∴b₁+b₂+b₃+…+b₁₀₀=1+2+3+…+100=$\frac{100（100+1）}{2}$=5050．
故答案为：5050．

点评 本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列、等差数列的性质的合理运用．