【题目】设四边形为矩形,点
为平面
外一点,且
平面
,若
,
.
(1)求与平面
所成角的大小;
(2)在边上是否存在一点
,使得点
到平面
的距离为
,若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由;
(3)若点是
的中点,在
内确定一点
,使
的值最小,并求此时
的值.
【答案】(1);(2)存在,
;(3)
、
、
三点共线,
【解析】
(1)由题意可得:,
,所以
平面
,可得
与平面
所成角既为
,再利用解三角形的有关知识即可求出答案.
(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作
,则
平面
,可得
,进而得到
,然后根据题意可得此点G符合题意.
(3)作出点C关于面PAB的对称点,连接
交面PAB的点H,点H就是所求的点,再运用平面几何知识可求得HB的长.
(1)因为平面
,
平面
,所以
,又因为底面
是矩形,所以
,
所以由线面垂直的判定定理可得:平面
,所以
与平面
所成角既为
,
又由题意可得:,
,所以
.
所以与平面
所成角的大小为
.
(2)假设边上存在一点G满足题设条件,作
,
则平面
,
所以.
,
故存在点G,当时,使点D到平面
的距离为
.
(3)延长CB到,使
,因为
平面
,
平面
,所以
,
又因为底面是矩形,
所以,
所以由线面垂直的判定定理可得:平面
,
则是点C关于面
的对称点,
连接,交面
于H,
则点H是使的值最小时,在面
上的一点.
作于M,则点M是AD的中点,连接
交AB于N,连接HN,
则,
所以,
又,
所以,而
,
所以.
所以.
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【题目】椭圆的离心率是
,过点
做斜率为
的直线
,椭圆
与直线
交于
两点,当直线
垂直于
轴时
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)当变化时,在
轴上是否存在点
,使得
是以
为底的等腰三角形,若存在求出
的取值范围,若不存在说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.直线
的参数方程为
(
为参数),圆
的参数方程为
(
为参数).
(1)写出直线的普通方程和圆
的极坐标方程;
(2)已知点,直线
与圆
交于
,
两点,求
的值.
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【题目】一个多边形剪一刀(截痕不过多边形的顶点)分割为个多边形,再将其中一个多边形剪一刀(截痕不过多边形的顶点)又分割出一个多边形,……如此下去。如果从一个正方形开始,要剪出一个三角形,一个四边形,一个五边形,……一个
边形,那么,所需要剪的最少刀数为________。
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【题目】已知从个球(其中
个白球,1个黑球)的口袋中取出
个球(
,
),共有
种取法,在这
种取法中,可以分成两类:一类是取出的
个球全部为白球,另一类是取出1个黑球和
个白球,共有
种取法,即有等式
成立,试根据上述思想,化简下列式子:
________(
,
).
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线的参数方程为:
为参数
,在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的极坐标方程为:
,直线
与曲线
交于A,B两点,
求曲线
的普通方程及
的最小值;
若点
,求
的最大值.
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【题目】在一场娱乐晚会上,有5位民间歌手(1至5号)登台演唱,由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手,其中观众甲是1号歌手的歌迷,他必选1号,不选2号,另在3至5号中随机选2名.观众乙对5位歌手的演唱没有偏爱,因此在1至5号中随机选3名歌手.
(1)求观众甲选中3号歌手的概率;
(2)表示3号歌手得到观众甲、乙的票数之和,求
.
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