Question

【题目】已知函数．

（1）若，证明：；

（2）若只有一个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）将代入，可得等价于，即，令，求出，可得的最小值，可得证；

（2）分，三种情况讨论，分别对求导，其中又分①若②③三种情况，利用函数的零点存在定理可得a的取值范围.

解：（1）当时，等价于，即；

设函数，则，

当时，；当时，．

所以在上单调递减，在单调递增．

故为的最小值，

而，故，即．

（2），

设函数 ，则；

（i）当时，，在上单调递增，

又，取b满足且，则，

故在上有唯一一个零点，

且当时，，时，，

由于，所以是的唯一极值点；

（ii）当时，在上单调递增，无极值点；

（iii）当时，若时，；若时，．

所以在上单调递减，在单调递增．

故为的最小值，

①若时，由于，故只有一个零点，所以时，

因此在上单调递增，故不存在极值；

②若时，由于，即，所以，

因此在上单调递增，故不存在极值；

③若时，，即．

又，且，

而由（1）知，所以，

取c满足，则

故在有唯一一个零点，在有唯一一个零点；

且当时，当时，，当时，

由于，故在处取得极小值，在处取得极大值，

即在上有两个极值点．

综上，只有一个极值点时，的取值范围是