Question

【题目】已知椭圆的两焦点在轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为的等腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）； （2）线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1).

【解析】

(1)根据椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，以及斜边长为，可求出，进而可求出椭圆方程；

(2)先由直线可得求过定点；根据与轴平行时或与轴平行时，先求出定点，再由证明即可.

(1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，.

又斜边长为，即，故， ，

椭圆方程为.

(2)由题意可知该动直线过定点,

当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为；

当与轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为.

由 得，

故若存在定点，则的坐标只可能为.

下面证明为所求：

若直线的斜率不存在，上述已经证明.

若直线的斜率存在，设直线：，

，，

由 得，

， ，，

，，

=，

，即以线段AB为直径的圆恒过点.