【题目】在数列中,
,
,
,其中
.
⑴ 求证:数列为等差数列;
⑵ 设,
,数列
的前
项和为
,若当
且
为偶数时,
恒成立,求实数
的取值范围;
⑶ 设数列的前
项的和为
,试求数列
的最大值.
【答案】⑴见解析⑵⑶
【解析】试题分析:(1)根据题意,由数列的递推公式分析可得与
的关系式,由等差数列的定义分析可得答案;
(2)根据题意,求出数列数列的前
项和为
的表达式,当
且
为偶数时,设
,求出的
表达式,分析可得答案;
(3)由(2)的结论求出 即可得
的表达式,设
,由数列的函数特征分析数列
变化的规律,分析可得答案.
试题解析:
⑴证明:
,
,
数列
是公差为1的等差数列;
⑵由⑴可知, ,故
.
因为,
所以
,
当且
为偶数时,设
,
则
,
要使对
且
为偶数恒成立,
只要使对
且
为偶数恒成立,
即使对
为正偶数恒成立,
,
,故实数
的取值范围是
;
⑶由⑴得,
,
,
,
设,
,
当
时,
,即
,
当时,
,即
,
,
因此数列的最大值为
.
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【题目】在10个球中有6个红球和4个白球(各不相同),不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第2次也摸到红球的概率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)= sin2x﹣cos2x,有下列四个结论:①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间[﹣
,
]上是增函数;③f(x)的图象关于点(
,0)对称;④x=
是f(x)的一条对称轴.其中正确结论的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】某校有高级教师20人,中级教师30人,其他教师若干人,为了了解该校教师的工资收入情况,拟按分层抽样的方法从该校所有的教师中抽取20人进行调查.已知从其他教师中共抽取了10人,则该校共有教师人.
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【题目】如图所示,游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转,每转一圈需要6min,其中心距离地面40.5m,摩天轮的半径为40m,已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处,在时刻t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=Asin(wt+φ)+h(A>0,w>0,﹣π<φ<0,t≥0).
(1)求f(t)的单调区间;
(2)求证:f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.
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【题目】已知函数f(x)=log2(x+1).
(1)将函数f(x)的图象上的所有点向右平行移动1个单位得到函数g(x)的图象,写出函数g(x)的表达式;
(2)若关于x的函数y=g2(x)﹣mg(x2)+3在[1,4]上的最小值为2,求m的值.
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【题目】已知函数F(x)=lnx(x>1)的图象与函数G(x)的图象关于直线y=x对称,若函数f(x)=(k﹣1)x﹣G(﹣x)无零点,则实数k的取值范围是( )
A.(1﹣e,1)
B.(1﹣e,∞)
C.(1﹣e,1]
D.(﹣∞,1﹣e)∪[1,+∞)
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【题目】已知直线l1:2x+y+2=0,l2:mx+4y+n=0
(1)若l1⊥l2 , 求m的值,;
(2)若l1∥l2 , 且它们的距离为 ,求m、n的值.
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