【题目】如图所示,游乐场中摩天轮匀速逆时针旋转,每转一圈需要6min,其中心距离地面40.5m,摩天轮的半径为40m,已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处,在时刻t(min)时点P距离地面的高度为f(t)=Asin(wt+φ)+h(A>0,w>0,﹣π<φ<0,t≥0).
(1)求f(t)的单调区间;
(2)求证:f(t)+f(t+2)+f(t+4)是定值.
【答案】
(1)解:由题意可得A=40, =6,∴ω=
,φ=﹣
,h=40.5,
故f(t)=40sin( t﹣
)+40.5=40.5﹣40cos
t,
令2kπ≤ t≤2kπ+π,求得6k≤t≤6k+3,可得函数的增区间为[6k,6k+3],k∈Z;
令2kπ+π≤ t≤2kπ+2π,求得6k+3≤t≤6k+6,可得函数的减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z
(2)解:证明:∵f(t)=40.5﹣40cos t,
∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=121.5﹣40[cos t+cos(
t+
)+cos(
t+
)].
又 cos t+cos(
t+
)﹣cos(
t+
)=cos
t﹣cos(
t﹣
)﹣cos(
t+
)
=cos t﹣cos
t﹣
sin
t+
sin
t=0,
∴f(t)+f(t+2)+f(t+4)=121.5﹣40×0=121.5,显然为定值,
故要证得结论成立
【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质,求得f(t)的解析式,再利用余弦函数的单调性求得f(t)的单调区间.(2)利用诱导公式、两角和差的三角公式化简 f(t)+f(t+2)+f(t+4),可得结论.
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【题目】下列四个结论: ①函数 的值域是(0,+∞);
②直线2x+ay﹣1=0与直线(a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,则a=﹣1;
③过点A(1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+y=3;
④若圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则圆柱的侧面积等于球的表面积.
其中正确的结论序号为 .
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【题目】在数列中,
,
,
,其中
.
⑴ 求证:数列为等差数列;
⑵ 设,
,数列
的前
项和为
,若当
且
为偶数时,
恒成立,求实数
的取值范围;
⑶ 设数列的前
项的和为
,试求数列
的最大值.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且以原点为圆心,椭圆的焦距为直径的圆与直线
相切(
为常数).
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如图,若椭圆的左、右焦点分别为
,过
作直线
与椭圆分别交于两点
,求
的取值范围.
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【题目】(Ⅰ)已知集合A={(x,y)|y=x2+2},B={(x,y)|y=6﹣x2},求A∩B; (Ⅱ)已知集合A={y|y=x2+2},B={y|y=6﹣x2},求A∩B.
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