Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是正方形，且四个侧面均为等边三角形.延长至点使，连接，.

（1）证明：；

（2）求二面角平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，交于点，连接，推导出平面，从而，由此能证明．

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．

（1）连接，交于点，连接，如图

∵底面是正方形

∴

∵四棱锥中四个侧面均为等边三角形

∴

又，故为、的中点

∴

∵

∴平面

∵，为的中点

∴

∴平面

∴

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

设，则，0，，，，，，，，，0，，

，0，，，，，，，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设平面的法向量，，，

则，取，得，1，，

设二面角的平面角为，

则．

观察图形知二面角的平面角为钝角

二面角的余弦值为．