Question

【题目】设数列的前n项和为，已知，，，则数列的前2n项和为______．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，由2Sn＝（1）an+1分析可得2Sn﹣1＝（1）an，两式相减可得（1）（an+1﹣3an）＝0，变形可得an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，据此分析可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；进而可得数列{bn}的通项，分析可得b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3，由此分析可得答案．

解：根据题意，数列{an}满足2Sn＝（1）an+1，①

则有2Sn﹣1＝（1）an，②

①﹣②可得：（1）（an+1﹣3an）＝0，

则有an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，（n≥2）

又由2Sn＝（1）an+1，当n＝1时，a2＝3，a1＝1，

则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；

bn＝（﹣1）n（log3an）2＝（﹣1）n（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，

则b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；

数列{bn}的前2n项和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n；

故答案为：2n2﹣n．