Question

【题目】在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度， 为答对该题的人数， 为参加测试的总人数．现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题，测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：

题号	1	2	3	4	5
考前预估难度	0.9	0.8	0.7	0.6	0.4

测试后，从中随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如表：

（Ⅰ）根据题中数据，估计中240名学生中第5题的实测答对人数；

（Ⅱ）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差．设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）48（Ⅱ）（Ⅲ）合理

【解析】试题分析：

（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，

于是可求出240人中实测答对第5题的人数．（Ⅱ） 的可能取值是0,1,2，根据超几何分布即可求出概率和分布列，进而求出期望；（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理． .因为，所以该次测试的难度预估是合理的．

试题解析：

（Ⅰ）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为，

所以估计240人中有人实测答对第5题．

（Ⅱ）的可能取值是0,1,2，

； ； ．

的分布列为：

	0	1	2

．

（Ⅲ）将抽样的20名学生中第题的实测难度，作为240名学生第题的实测难度．　

定义统计量，其中为第题的预估难度. 并规定：若，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．　

.

因为，

所以该次测试的难度预估是合理的．