Question

【题目】已知函数（）.

（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）求函数的单调区间；

（3）讨论函数在区间上零点的个数.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：由 ，直线的斜率为，

所以得出a值，（2）确定函数的单调区间 大于零或小于零解不等式即可注意当当， 时（3）由（2）可知，

当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点；

当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点；只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可

试题解析：

（1）由题可知的定义域为，

因为，所以

又因为直线的斜率为，

，解得

（2）由（1）知： ，

当时， ，所以在上单调递增；

当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减.

（3）由（2）可知，

当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点；

当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点；

当时，

①若，即时， 在上单调递减， ， 在上没有零点；

②若，即时， 在上单调递增，在上单调递减，而， ， ，

若 ，即时， 在上没有零点；

若 ，即时， 在上有一个零点；

若 ，即时，由得，此时， 在上有一个零点；

由得，此时， 在上有两个零点；

③若，即时， 在上单调递增， ， ， 在上有一个零点.

综上所述：当或时， 在上有一个零点；当或时， 在上没有零点；当时， 在上有两个零点.