【题目】选修4-4:坐标系与参数方程.
在平面直角坐标系中,倾斜角为
的直线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程是
.
(1)写出直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)已知点.若点
的极坐标为
,直线
经过点
且与曲线
相交于
两点,设线段
的中点为
,求
的值.
【答案】(1); 线
的直角坐标方程为
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)直线的参数方程中的参数为
,所以消
得到直线的普通方程;根据
,
,极坐标方程两边同时乘以
,化简为曲线
的普通方程;(2)根据直线
过点
,可知直线的倾斜角,代入直线的参数方程,得到
,代入曲线
的极坐标方程,转化为关于
的一元二次方程,根据
的几何意义可知
.
试题解析:(1)∵直线的参数方程为
(
为参数),
∴直线的普通方程为
....................2分
由,得
,即
,
∴曲线的直角坐标方程为
.............................4分
(2)∵点的极坐标为
,∴点
的直角坐标为
...............5分
∴,直线
的倾斜角
.
∴直线的参数方程为
(
为参数)...................7分
代入,得
.....................8分
设两点对应的参数为
.
∵为线段
的中点,
∴点对应的参数值为
.
又点,则
.........................10分
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(1)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(2)当PD=AB,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
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【题目】已知 =(2,1),
=(1,7),
=(5,1),设R是直线OP上的一点,其中O是坐标原点.
(1)求使 取得最小值时
的坐标的坐标;
(2)对于(1)中的点R,求 与
夹角的余弦值.
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【题目】将圆为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
倍,得到曲线
(1)求出的普通方程;
(2)设直线:
与
的交点为
,
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段
的中点且与
垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】如图,圆:
.
(1)若圆与
轴相切,求圆
的方程;
(2)求圆心的轨迹方程;
(3)已知,圆
与
轴相交于两点
(点
在点
的左侧).过点
任作一条直线与圆
:
相交于两点
.问:是否存在实数
,使得
?若存在,求出实数
的值,若不存在,请说明理由.
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【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种,若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元,在下一年续保时,实行的是费率浮动机制,保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系,发生交通事故的次数越多,费率也就越高,具体浮动情况如下表:
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
浮动因素 | 浮动比率 | |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 | 上浮30% |
某机购为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况,随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况,统计得到了下面的表格:
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
(1)求一辆普通6座以下私家车在第四年续保时保费高于基本保费的频率;
(2)某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车,且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车,假设购进一辆事故车亏损5000元,一辆非事用户车盈利10000元,且各种投保类型车的频率与上述机构调查的频率一致,完成下列问题:
①若该销售商店内有六辆(车龄已满三年)该品牌二手车,某顾客欲在店内随机挑选两辆车,求这两辆车恰好有一辆为事故车的概率;
②若该销售商一次购进120辆(车龄已满三年)该品牌二手车,求一辆车盈利的平均值.
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