Question

【题目】已知向量 ， ，且 ，f（x）= ﹣2λ| |（λ为常数），求：
（1） 及| |；
（2）若f（x）的最小值是 ，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解： ， ，

∵ ，

∴cosx≥0，

∴ ．

（2）

解：f（x）=cos2x﹣4λcosx=2（cosx﹣λ）2﹣1﹣2λ2，

∵ ，

∴0≤cosx≤1，

①当λ＜0时，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值﹣1，这与已知矛盾；

②当0≤λ≤1，当且仅当cosx=λ时，f（x）取得最小值﹣1﹣2λ2，

由已知得 ，解得 ；

③当λ＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值1﹣4λ，

由已知得 ，解得 ，这与λ＞1相矛盾、

综上所述， 为所求．

【解析】（1）根据所给的向量的坐标，写出两个向量的数量积，写出数量积的表示式，利用三角函数变换，把数量积整理成最简形式，再求两个向量和的模长，根据角的范围，写出两个向量的模长．（2）根据第一问做出的结果，写出函数的表达式，式子中带有字母系数λ，把式子整理成关于cosx的二次函数形式，结合λ的取值范围，写出函数式的最小值，是它的最小值等于已知量，得到λ的值，把不合题意的舍去．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角函数的最值(函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，)．