【题目】对于数列,定义, .
(1) 若,是否存在,使得?请说明理由;
(2) 若, ,求数列的通项公式;
(3) 令,求证:“为等差数列”的充要条件是“的前4项为等差数列,且为等差数列”.
【答案】(1)不存在(2)(3)见解析
【解析】试题分析:(1)由题意知数列为递增数列,计算出数列的和与可得结果;(2)根据,可得,故可得,即数列, 均为公比为6的等比数列,可得其通项公式;(3)将题意转化为,先证必要性:设,其中为常数,可得,得结果,再证充分性:利用数学归纳法证得结果.
试题解析:(1)由,可知数列为递增数列, 计算得, ,所以不存在,使得;
(2)由,可以得到当时,
,
又因为,所以, 进而得到, 两式相除得,所以数列, 均为公比为6的等比数列,
由,得,所以;
(3)证明:由题意,
当时, ,
因此,对任意,都有.
必要性():若为等差数列,不妨设,其中为常数,
显然,
由于=,
所以对于, 为常数,
故为等差数列;
充分性():由于的前4项为等差数列,不妨设公差为
当时,有成立
假设时为等差数列,
即
当时,由为等差数列,得,
即: ,
所以
,
因此,
综上所述:数列为等差数列.
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【题目】设点M是棱长为2的正方体的棱AD的中点,P是平面内一点,若面分别与面ABCD和面所成的锐二面角相等,则长度的最小值是( )
A. B. C. D. 1
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【题目】为了解小学生的体能情况,抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),已知图中从左到右前三个小组的频率分别时0.1,0.3,0.4,第一小组的频数为5.
(1)求第四小组的频率?
(2)问参加这次测试的学生人数是多少?
(3)问在这次测试中,学生跳绳次数的中位数落在第几小组内?
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【题目】如图,在四棱锥中, 底面,底面是直角梯形, , , , 是的中点.
(1)求证:平面平面;
(2)若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
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