Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅲ）设斜率为的直线与函数的图象交于， 两点，其中，求证： .

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】试题分析：(1)首先求得切线斜率 ，且，据此由点斜式写出切线方程.

(2)由令，得， .分类讨论： ， ， ，三种情况即可得到函数的单调区间；

(3)经分析可知，证明原问题只需证明，构造函数，可证得，即得证．

试题解析：

（Ⅰ）当时， （），

则（），.

又，所以切线方程为，即.

（Ⅱ），令，得， .

①当，即时，令，得或；令，得，

所以当时， 单调增区间为和；单调减区间为.

②当，即时，令，得或，

所以当， 单调增区间为和；单调减区间为.

③当，即时， ，

易知单调增区间为 .

（Ⅲ）根据题意， .（以下用分析法证明）

要证，只要证，

只要证，

令，则只需证： ，令，

则，所以在上递增，

∴，即，同理可证： ，

综上， ，即得证．