Question

曲线P，P₁，P₂，…，已知P所围成的图形是面积为1的等边三角形，P_k+1是对P_k进行如下操作得到的：将P_k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0，1，2，3，…），记S_n为曲线P_k所围成图形面积．
①求数列{S_n}的通项公式；
②求．

Answer 1

【答案】分析：①先归纳猜想，再用数学归纳法证明．猜想P_n的边数为3×4ⁿ；已知P的面积为S=1，比较P₁与P，可得P₁在P的每条边上增加了一个小等边三角形，进一步，可归纳数列{S_n}的通项公式，利用数学归纳法证明；
②利用数列{S_n}的通项公式，可求其极限的值．
解答：解：①对P进行操作，可得P的每条边变成P₁的4条边，故P₁的边数为3×4；
同样，对P₁进行操作，P₁的每条边变成P₂的4条边，故P₂的边数为3×4²，从而得到P_n的边数为3×4ⁿ 
已知P的面积为S=1，比较P₁与P，可得P₁在P的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P有3条边，故S₁=S+3×=1+
再比较P₂与P₁，可得P₂在P₁的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为×，而P₁有3×4条边，故S₂=S₁+3×4×=1++
类似地有：S₃=S₂+3×4²×=1+++
∴S_n==1+=（※）                          
下面用数学归纳法证明（※）式
当n=1时，由上面已知（※）式成立，
假设当n=k时，有S_k=，则当n=k+1时，可得第k+1次操作后，比较P_k+1与P_k，P_k+1在P_k的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为，而P_k有3×4^k条边．
故S_k+1=S_k+3×4^k×=
综上所述，对任何n∈N，（※）式成立．
②
点评：本题考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，考查数列的极限，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．