Question

（三级达标校与非达标校做）
已知函数f（x）=2x+

1

2x

（x∈R）
（Ⅰ） 判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（Ⅱ）求证f（x）在[0，1]上单调递增，在[-1，0]上单调递减．

Answer 1

（I）证明：函数f（x）为偶函数，证明如下
∵f（-x）=2-x+

1

2-x

=2x+

1

2x

=f（x）
∴f（x）为偶函数
（II）设0≤x₁＜x₂≤1
则f（x₁）-f（x₂）=2x1-2x2+

1

2x1

-

1

2x2

=（2x1-2x2）+

2x2-2x1

2x1•2x2

=（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）
∵0≤x₁＜x₂≤1
∴2x1-2x2＜0，
∵2x1•2x2= 2x1+ x2＞1
∴1-

1

2x1+x2

＞0
即（2x1-2x2）（1-

1

2x1•2x2

）＜0
∴f（x）在[0，1]上单调递增，
根据偶函数在对称区间上的单调性相反可知函数f（x）在[-1，0]上单调递减．