Question

各项均为正数的数列{an}中，设，，且，．

（1）设，证明数列{bn}是等比数列；

（2）设，求集合．

 

Answer 1

（1）详见解析，（2）（）．

【解析】

试题分析：（1）数列{bn}是等比数列，实际就是证明为常数，首先列出的关系式，由知消去参数由，所以①，当时， ②，①-②，得即，，化简得或（）．因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．所以（）．

（2）由（1）知，所以，即．由，得，又时，，所以数列从第2项开始依次递减．当时，若，则，与矛盾，所以时，，即．令，则，所以，即存在满足题设的数组（）．当时，若，则不存在；若，则；若时，，（*）式不成立．

【解】（1）当时，，

即，解得． 2分

由，所以 ①

当时， ②

①-②，得（）， 4分

即，

即，所以，

因为数列{an}的各项均为正数，所以数列单调递减，所以．

所以（）．

因为，所以，

所以数列{bn}是等比数列． 6分

（2）由（1）知，所以，即．

由，得（*）

又时，，所以数列从第2项开始依次递减． 8分

（Ⅰ）当时，若，则，

（*）式不成立，所以，即． 10分

令，则，

所以，即存在满足题设的数组（）． 13分

（Ⅱ）当时，若，则不存在；若，则；

若时，，（*）式不成立．

综上所述，所求集合为（）． 16分

（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）

考点：数列的通项公式、前n项和