Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-mx²+

3

2

mx，（m＞0）
（1）当m=2时，
①求函数y=f（x）的单调区间；
②求函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程；
（2）若函数f（x）既有极大值，又有极小值，且当0≤x≤4m时，f（x）＜mx²+（

3

2

mx-3m²）x+36恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）①把m=2代入函数解析式，求出函数的导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，由导函数在不同区间段内的符号确定原函数的单调性；
②求出f′（0）的值，即函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案；
（2）由函数f（x）既有极大值，又有极小值，得其导函数所对应的方程有两个不同的实数根，由判别式大于0得到m＞

3

2

．构造函数g（x）=f（x）-mx²+（

3

2

mx-3m²）x，当0≤x≤4m时，f（x）＜mx²+（

3

2

mx-3m²）x+36恒成立等价于[g（x）]_max＜36成立，由导数求出g（x）的最大值，代入[g（x）]_max＜36求解m的范围，与m＞

3

2

取交集得答案．

解答： 解：（1）当m=2时，f(x)=

1

3

x3-2x2+3x，
则f'（x）=x²-4x+3，
①令f'（x）=x²-4x+3=0，解得x=1或x=3，
当x∈（-∞，1），（3，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0．
∴函数的单调递增区间是：（-∞，1），（3，+∞）．
函数的单调递减区间是：（1，3）；
②∵f′（x）=x²-4x+3，
∴f′（0）=0，
∴函数y=f（x）的图象在点（0，0）处的切线方程为y=3x；
（2）∵函数f（x）既有极大值，又有极小值，
则f′(x)=x2-2mx+

3

2

m=0有两个不同的根，
则有△=4m²-6m＞0，
又m＞0，
∴m＞

3

2

．
令g(x)=f(x)-mx2-(

3

2

m-3m2)x=

1

3

x3-2mx2+3m2x，
依题意：[g（x）]_max＜36即可．
由g'（x）=x²-4mx+3m²=0，解得x=m，或x=3m，
∴g'（x）＞0⇒x＜m或x＞3m，
g'（x）＜0⇒m＜x＜3m，
∴g（x）在[0，m），（3m，4m]上为增函数，在（m，3m）上为减函数，
∴g(m)=

4

3

m3，g（3m）=0为g（x）的极值，
又g(0)=0，g(4m)=

4

3

m3，
∴g（x）最大值为

4

3

m3，
∴

4

3

m3＜36，解得m＜3．
∴m的取值范围为

3

2

＜m＜3．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了利用构造函数法证明不等式恒成立问题，是高考试卷中的压轴题．