Question

数列a_n的首项为a（a＞0），它的前n项的和是S_n．
（1）若数列a_n是等差数列，公差为d，d≠0，且数列

Sn

an

也是等差数列，①求d；②求证：∑_i=1ⁿ

2Si  a

＜

n2+2n

2

．
（2）数列S_n是公比为q的等比数列，且q≠1，不等式S_n．≥ka_n对任意正整数n都成立，求k的值或k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①则由{

Sn

an

}是等差数列知

2(2a+d)

a+d

=1+

3a+3d

a+2d

，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，由此能求出d．
②由

2Si a

=

i(i+1)

＜

i+(i+1)

2

=

2i+1

2

，能导出

n

i=1

2Si a

＜

n

i=1

2i+1

2

=

n2+2n

2

．
（2）依题意S₁=a₁=a，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），所以：a_n={

a， aqn-2(q-1)，

n=1 n≥2

，由此进行曲分类讨论知q＜0时，k=

q

q-1

；0＜q＜1时，

q

q-1

≤k≤1；q＞1时，k≤1．

解答：解：（1）①则由{

Sn

an

}是等差数列知：

2(2a+d)

a+d

=1+

3a+3d

a+2d

，2（2a+d）（a+2d）=（a+d）（a+2d）+3（a+d）²，
又d≠0，所以d=a，（3分）
当d=a时，a_n=na，Sn=

n(n+1)

2

a，

Sn

an

=

n+1

2

，是等差数列，（4分）
②

2Si a

=

i(i+1)

＜

i+(i+1)

2

=

2i+1

2

，（6分）
所以

n

i=1

2Si a

＜

n

i=1

2i+1

2

=

n2+2n

2

，（8分）
（2）依题意S₁=a₁=a，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=aq^n-1-aq^n-2=aq^n-2（q-1），
所以：a_n={

a， aqn-2(q-1)，

n=1 n≥2

（10分）
当n=1时，S₁≥ka₁，由a＞0知，k≤1；（11分）
当n≥2时，S_n≥ka_n，即aq^n-1≥kaq^n-2（q-1），
①若q＞1，则k≤

q

q-1

，因为

q

q-1

=1+

1

q-1

＞1，所以此时k≤1；
②若0＜q＜1，则k≥

q

q-1

，因为

q

q-1

＜0＜1，所以此时

q

q-1

≤k≤1；
③若q＜0，n为奇数时，q^n-2＜0，同时q-1＜0，
不等式S_n≥ka_n的解是k≤

q

q-1

，n为偶数时，q^n-2＞0，同时q-1＜0，不等式S_n≥ka_n的解是k≥

q

q-1

，
要使S_n≥ka_n对任意大于1的正整数恒成立，只有k=

q

q-1

又

q

q-1

=1+

1

q-1

＜1适合要求，
综上可得：q＜0时，k=

q

q-1

；0＜q＜1时，

q

q-1

≤k≤1；q＞1时，k≤1．（16分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，合理挖掘题设中的隐含条件，注意不等式的合理运用．