Question

在以O为坐标原点的直角坐标系中，

OA

⊥

AB

，点A（4，-3），B点在第一象限且到x轴的距离为5．
（1） 求向量

AB

的坐标及OB所在的直线方程；
（2） 求圆（x-3^）2+（y+1^）2=10关于直线OB对称的圆的方程；
（3） 设直线l

AB

为方向向量且过（0，a）点，问是否存在实数a，使得椭圆

x2

16

+y²=1上有两个不同的点关于直线l对称．若不存在，请说明理由； 存在请求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设B（x₀，5），则

OA

=(4，-3)，

AB

=(x0-4，8)，由

OA

⊥

AB

，可得4（x₀-4）-24=0，x₀=10，由此能够求出向量

AB

的坐标及OB所在的直线方程．
（2）设圆心关于直线OB的对称点坐标为（x₁，y₁），由（x-3）²+（y+1）²=10，可知圆心为（3，-1），半径为

10

．由方程y=

1

2

x知kOB=

1

2

，由此能够推导出所求圆的方程．
（3）假设椭圆上存在两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）关于直线l对称，设其中点坐标为M（x₀，y₀）由已知直线l的方程为y=

4

3

x+a，可设直线AB的方程为y=-

3

4

x+m，将其与已知椭圆方程联立得5x²-12mx+8m²-8=0．再由韦达定理进行求解．

解答：解：（1）设B（x₀，5），
则

OA

=(4，-3)，

AB

=(x0-4，8)，
由

OA

⊥

AB

，可得

OA

•

AB

=0，
∴4（x₀-4）-24=0，x₀=10，
∴B（10，5），∴

AB

=(6，8)，
OB所在的直线方程是：y=

1

2

x（5分）
（2）设圆心关于直线OB的对称点坐标为（x₁，y₁），
由（x-3）²+（y+1）²=10，
可知圆心为（3，-1），半径为

10

．
由方程y=

1

2

x知kOB=

1

2

，
∴

y1+1

x1-3

=-2，又点(

x1+3

2

，

y1-1

2

)在y=

1

2

x上
∴得

x1+3 2 -2• y1-1 2 =0 y1+1 x1-2 =-2

，∴

x1=1 y1=3

，
故所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10．（10分）
（3）假设椭圆上存在两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）关于直线l对称，
设其中点坐标为M（x₀，y₀），
由已知直线l的方程为y=

4

3

x+a，
可设直线AB的方程为y=-

3

4

x+m
将其与已知椭圆方程联立，
得5x²-12mx+8m²-8=0．
由韦达定理知x0=

x1+x2

2

=

6m

5

，
y0=

-3

4

×

6m

5

+m=

m

10

．（12分）
中点M（x₀，y₀）在圆的内部可知

( 6m 5 )2

16

+(

m

10

)2＜1，
解得m²＜10．
又M（x₀，y₀）在直线l上，
故

m

10

=

4

3

×

6m

5

+a，
解得m=-

2

3

a代入m²＜10
解得a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)，
即存在满足题意的实数a，
其取值范围为a∈(-

3

2

10

，

3

2

10

)．（16分）

点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选取用公式．