Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x≤k}\\{x（x-1）^{2}，k≤x≤a}\end{array}\right.$．若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． （1，2]
• C． （$\frac{1}{2}$，2]
• D． [$\frac{1}{2}$，2]

Answer 1

分析 分别令g（x）=log₂（1-x）+1，h（x）=x（x-1）²，并分析其图象和性质，结合存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，数形结合，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：函数g（x）=log₂（1-x）+1在[-1，1）上为减函数，
g（-1）=2，g（$\frac{1}{2}$）=0，
函数h（x）=x（x-1）²，则h′（x）=3x²-4x+1，
则当x＜$\frac{1}{3}$，或x＞1时，h′（x）＞0，函数h（x）为增函数；
当$\frac{1}{3}$＜x＜1时，h′（x）＜0，函数h（x）为减函数；
又由h（0）=h（1）=0，h（2）=2，
故在同一坐标系，函数g（x）和函数h（x）的图象如下图所示：

若存在k使得函数f（x）的值域为[0，2]，
则k≥1，且k≤2，
由图可得：a∈[1，2]，
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的图象和性质，数形结合思想，难度中档．