Question

已知关于x的实系数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α、β，

证明:|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.

Answer 1

证明略

解析:

证明:(1）充分性：由韦达定理，得|b|=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.

设f(x)=x²+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.

又|α|＜2,|β|＜2,∴f(±2)>0.

即有4+b>2a>－(4+b)

又|b|＜44+b>02|a|＜4+b

(2)必要性:

由2|a|＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.

∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.

∵α，β是方程f(x)=0的实根，

∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.