精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
精英家教网已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足
BM
=
MC
,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足
AT
=
AB

(I)求AC边所在直线的方程;
(II)求△ABC外接圆的方程;
(III)若动圆P过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.
请注意下面两题用到求和符号:
f(k)+f(k+1)+f(k+2)+…+f(n)=
n
i=k
f(i)
,其中k,n为正整数且k≤n.
分析:(I)由
AT
AB
=0
,T在AC上,知△ABC是直角三角形.由AB边所在的直线方程是x-3y-6=0,知直线AC的斜率是-3,再由T(-1,1)在直线AC上,能求出AC边所在的直线方程.
(II)AC与AB的交点为A,由
x-3y-6=0
3x+y+2=0
,解得A(0,-2).由
BM
=
MC
,知M(2,0)为Rt△ABC外接圆的圆心,再由r=|AM|=
(2-0)2+(0+2)2
=2
2
,能求出△ABC外接圆的方程.
(III)由动圆P过点N,知|PN|是该圆的半径,再由动圆P与圆M外切,知|PM|=|PN|+2
2
,由此能得到点P的轨迹.
解答:解:(I)∵
AT
AB
=0
,∴AT⊥AB,
∵T在AC上,∴AC⊥AB,△ABC是直角三角形.
又AB边所在的直线方程是x-3y-6=0,
∴直线AC的斜率是-3,
∵T(-1,1)在直线AC上,
∴AC边所在的直线方程是y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.
(II)AC与AB的交点为A,
x-3y-6=0
3x+y+2=0
,解得A(0,-2).
BM
=
MC

∴M(2,0)为Rt△ABC外接圆的圆心,
∵r=|AM|=
(2-0)2+(0+2)2
=2
2

∴△ABC外接圆的方程为:(x-2)2+y2=8.
(III)∵动圆P过点N,所以|PN|是该圆的半径,
又∵动圆P与圆M外切,
∴|PM|=|PN|+2
2
,即|PM|-|PN|=2
2

故点P的轨迹是以M,N为焦点,实轴长为2
2
的双曲线的左支.
点评:本题考查圆的性质和应用,解题时要认真审题,注意直线和圆的位置关系的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知△ABC的边AB所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足
BM
=
MC
,点T(-1,1)在AC所在直线上且
AT
AB
=0
.   
(1)求△ABC外接圆的方程;
(2)一动圆过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求此动圆圆心的轨迹方程Γ;
(3)过点A斜率为k的直线与曲线Γ交于相异的P,Q两点,满足
OP
OQ
>6
,求k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0点B关于点M(2,0)的对称点为C,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足
AT
AB
=0

(I)求AC边所在直线的方程;
(II)求△ABC的外接圆的方程;
(III)若点N的坐标为(-n,0),其中n为正整数.试讨论在△ABC的外接圆上是否存在点P,使得|PN|=|PT|成立?说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•东莞二模)已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足
BM
=
MC
,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足
AT
AB
=0

(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程;
(3)若动圆P过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年江苏省徐州市运河中学高三摸底迎考练习(二)(解析版) 题型:解答题

已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,M(2,0)满足,点T(-1,1)在AC边所在直线上且满足
(1)求AC边所在直线的方程;
(2)求△ABC外接圆的方程;
(3)若动圆P过点N(-2,0),且与△ABC的外接圆外切,求动圆P的圆心的轨迹方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案