Question

（2012•东莞二模）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，M（2，0）满足

BM

=

MC

，点T（-1，1）在AC边所在直线上且满足

AT

•

AB

=0．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求△ABC外接圆的方程；
（3）若动圆P过点N（-2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由已知

AT

•

AB

=0可得△ABC为Rt△ABC，由AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，可求直线AC的斜率，点T（-1，1）在直线AC上，利用直线的点斜式可求
（2）AC与AB的交点为A，联立方程可求A的坐标，由

BM

=

MC

，结合直角三角形的性质可得MRt△ABC的外接圆的圆心，进而可求r=|AM|，外接圆的方程可求
（3）由题意可得|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

，结合圆锥曲线的定义可求轨迹方程

解答：解：（1）∵

AT

•

AB

=0
∴AT⊥AB，又T在AC上
∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，
又AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，所以直线AC的斜率为-3．
又因为点T（-1，1）在直线AC上，
所以AC边所在直线的方程为y-1=-3（x+1）．即3x+y+2=0．
（2）AC与AB的交点为A，所以由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

解得点A的坐标为（0，-2），
∵

BM

=

MC

∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心
又r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

．
从△ABC外接圆的方程为：（x-2）²+y²=8．
（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，
所以|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为2

2

的双曲线的左支．
因为实半轴长a=

2

，半焦距c=2．所以虚半轴长b=

c2-a2

=

2

．
从而动圆P的圆心的轨迹方程为

x2

2

-

y2

2

=1(x≤-

2

)．

点评：本题主要考查了两直线垂直的斜率关系的应用，直线方程的点斜式的应用，直角三角形的外接圆的性质的应用及椭圆定义、椭圆方程求解等知识的综合应用，本题考查的知识点较多，要求考生具备综合应用知识的能力