【题目】已知函数,
.
(1)若,求函数
的单调递减区间;
(2)若关于的不等式
恒成立,求整数
的最小值;
(3)若,正实数
,
满足
,证明:
.
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由求出
的值,再利用导数求出函数
的单调递减区间;(2)分离出变量
,令
,只要
,利用导数求出令
的最大值即可;(3)由
,即
,令
,则由
,利用导数法求得
,从而可得所以
,解得即可.
试题解析:
(1)因为,所以
,
此时,
,
,
由,得
,又
,所以
,
所以的单调减区间为
.
(2)由恒成立,得
在
上恒成立,
问题等价于在
上恒成立,
令,只要
,
因为,令
,得
.
设,因为
,所以
在
上单调递减,
不妨设的根为
,
当时,
;当
时,
,
所以在
上是增函数,在
上是减函数,
所以
,
因为,
,
所以,此时
,即
,
所以,即整数
的最小值为2.
(3)当时,
,
由,即
,
从而,
令,则由
,得
,
可知, 在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,所以
,
所以,因此
成立.
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【题目】已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值:
(1)直线l1过点(-3,-1),并且直线l1与l2垂直;则a=____,b=_______
(2)直线l1与直线l2平行,并且直线l2在y轴上的截距为3.则a=____,b=_______
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【题目】已知函数在区间
单调递减,在区间
单调递增.函数
.
(1)请写出函数与函数
在
的单调区间;(只写结论,不需证明)
(2)求函数的最大值和最小值;
(3)讨论方程实根的个数.
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【题目】点M(3,2)到拋物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,F为拋物线的焦点,点N(l,l),当点P在直线l:x﹣y=2上运动时, 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】某闯关游戏规则是:先后掷两枚骰子,将此试验重复n轮,第n轮的点数分别记为xn , yn , 如果点数满足xn< ,则认为第n轮闯关成功,否则进行下一轮投掷,直到闯关成功,游戏结束.
(Ⅰ)求第一轮闯关成功的概率;
(Ⅱ)如果第i轮闯关成功所获的奖金数f(i)=10000× (单位:元),求某人闯关获得奖金不超过1250元的概率;
(Ⅲ)如果游戏只进行到第四轮,第四轮后不论游戏成功与否,都终止游戏,记进行的轮数为随机变量X,求x的分布列和数学期望.
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【题目】党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计.而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑.沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效.通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果.为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低?最低总造价是多少元?
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【题目】某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:若公司参加培训的员工人数不超过30人时,每人的培训费用为850元;若公司参加培训的员工人数多于30人,则给予优惠:每多一人,培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为人,每位员工的培训费为
元,培训机构的利润为
元.
(1)写出与
之间的函数关系式;
(2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?并求最大利润.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l过点(1,0),且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T(t,0)(t≠0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB (其中O为坐标原点),若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.
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