Question

在△ABC 中，已知角A、B、C 所对的三条边分别是a、b、c，且b²=a•c
（Ⅰ）求证：0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）求函数y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用余弦定理求出cosB的值的范围，即可证明0＜B≤

π

3

；
（Ⅱ）直接利用二倍角与平方关系，两角和的正弦函数化简函数y=

1+sin2B

sinB+cosB

为y=

2

sin(B+

π

4

)，结合B的范围，求出表达式的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，0＜B≤π，所以0＜B≤

π

3

（Ⅱ）y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin(B+

π

4

)，
因为0＜B≤

π

3

所以

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，所以

2

2

＜sin(B+

π

4

)≤1，所以y的值域为(1，

2

]

点评：本题考查余弦定理与三角函数的二倍角公式与两角和与应用，考查函数值域的求法，考查计算能力．