Question

是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的

1. A.
   充分不必要条件
2. B.
   必要不充分条件
3. C.
   充分必要条件
4. D.
   既不充分也不必要条件

Answer 1

C
分析：对充分性和必要性分别加以论证：将代入函数的表达式，不难根据函数奇偶性定义得到函数f（x）为偶函数，从而充分性成立；反之再根据函数为偶函数，用f（x）-f（-x）=0恒成立，采用比较系数法，可得，说明必要性成立．由此不难选出正确的选项．
解答：先看充分性
若a=-，则函数f（x）=ln（e^x+1）-x=ln=ln（）
可得f（-x）=ln（）=f（x），函数是偶函数，充分性成立；
再看必要性
若函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数，即
f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
可得ln（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0，对任意实数x恒成立
∴对任意实数x恒成立，
而，上式变成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0对任意实数x恒成立
所以a=-，可得必要性成立
综上，是函数f（x）=ln（e^x+1）+ax为偶函数的充分必要条件
故选C
点评：本题以函数的奇偶性为载体，考查了充分必要条件的判断与证明，属于基础题．在解题过程中将函数进行化简，利用了比较系数的方法求常数a的值，请同学们体会这种常用数学方法．