Question

已知在平面直角坐标系中，点A（0，3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C三点围成等腰直角三角形时，求点B、C的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：设B（x，2），C（a，0），由A、B、C三点围成等腰直角三角形，分三点分别为直角顶点，利用向量垂直的数量积为0，得到横坐标．

解答： 解：由题意，设B（x，2），C（a，0），由A、B、C三点围成等腰直角三角形，
①A为直角顶点时，AB⊥AC，AB=AC，所以

AB

•

AC

=0，所以（x，-1）（a，-3）=0并且x²+1=a²+9，解得x=3时a=-1；x=-3时，a=1；所以B（3，2），C（-1，0）；或者B（-3，2），C（1，0）；
②B为直角顶点时，AB⊥CB，AB=CB，所以

AB

•

CB

=0，所以（x，-1）（x-a，2）=0并且x²+1=（x-a）²+4，解得a²=2x²-7，所以x=±2

2

，a=±3，所以B（2

2

，2），C（3，0）；或者B（-2

2

，2），C（3，0）；
③C为直角顶点时，AC⊥BC，AC=BC，所以

AC

•

BC

=0，所以（a，-3）（a-x，-2）=0，并且a²+9=（x-a）²+4，解得a=2，x=5；或者a=-2，x=-5；所以B（5，2），C（2，0）；或者B（-5，2），C（-2，0）．

点评：本题主要考查了向量垂直的性质的运用；两个向量垂直，它们的数量积为0．