Question

设a₁，a₂，……a_n是各项均不为零的等差数列(n≥4)，且公差d≠0，若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：

①当n＝4时，求的数值；

②求n的所有可能值．

Answer 1

答案：
解析：

本小题考查等差数列、等比数列的综合应用． 　　①当n＝4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d＝0． 　　若删去，则，即化简得，得 　　若删去，则，即化简得，得 　　综上，得或． 　　②当n＝5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项． 　　若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去； 　　当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾．(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项) 　　综上所述，．