Question

已知椭圆的两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为的菱形的四个顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点F₂ ，斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，A为椭圆的右顶点，直线、分别交直线于点、，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.

 

Answer 1

【答案】

(1)；（2）为定值.

【解析】

试题分析：(1)由椭圆两个焦点和上下两个顶点是一个边长为2且∠F₁B₁F₂为的菱形的四个顶点可得，从而得到椭圆方程.（2）通过题目条件，将直线方程设出来，再将它与椭圆交点坐标设出来，即点，点，再分别表示出直线、的方程，令，得到点,，的坐标，再利用中点坐标公式得到线段的中点为的坐标，利用斜率公式即得到，通过联立直线与椭圆方程，用韦达定理替换，，化简之后即可证明为定值.本题利用“设而不求”达到证明的目的，充分利用韦达定理消去繁杂的未知数.这是解决带有直线与圆锥曲线交点问题的常用的手段.

试题解析：(1)由条件知，    2分

故所求椭圆方程为.    4分

（2）设过点的直线方程为：，设点，点，

将直线方程代入椭圆：，

整理得：，    6分

因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且

    8分

直线的方程为：，直线的方程为：，令，

得点，，所以点的坐标.    9分

直线的斜率为.

.    11分

将代入上式得：

.

所以为定值.    14分

考点：1.椭圆的简单几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.斜率公式及直线方程.