Question

13．已知函数f（x）=ln（e^x+1）+ax，（x∈R）是偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．
（1）试确定实数a的值；
（2）先判断函数f（x）在区间（-∞，0]上的单调性，并用定义证明你的结论；
（3）关于x的不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）是R上的偶函数，f（-x）=f（x）对任意实数x恒成立，列出方程求出a的值；
（2）f（x）在区间（-∞，0]上是减函数，利用定义证明即可；
（3）由不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，求出f（x）在R上的最小值，即可得出b的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ln（e^x+1）+ax是R上的偶函数，
即f（-x）=ln（e^-x+1）-ax=f（x），
∴ln（e^x+1）+ax-（ln（e^-x+1）-ax）=0对任意实数x恒成立，
∴ln$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{-x}+1}$+2ax=0对任意实数x恒成立；
又$\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{-x}+1}$=e^x，上式变成ln（e^x）+2ax=（2a+1）x=0对任意实数x恒成立，
∴a=-$\frac{1}{2}$；
（2）∵f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x是偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，
∴f（x）在区间（-∞，0]上是减函数；
用定义证明如下：任取x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂；
则-x₁＞-x₂≥0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
又∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x₁）=f（x₁），f（-x₂）=f（x₂）；
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在区间（-∞，0]上是减函数；
（3）∵关于x的不等式f（x）≥b-ln$\frac{1}{2}$在R上恒成立，
∴ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x≥b-ln$\frac{1}{2}$，
∴b≤ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x+ln$\frac{1}{2}$，
又∵f（x）=ln（e^x+1）-$\frac{1}{2}$x是R上的偶函数，
且在（-∞，0]上是减函数，在[0，+∞）上是增函数，
∴x=0时f（x）取得最小值ln（e⁰+1）-$\frac{1}{2}$×0=ln2，
∴b≤ln2+ln$\frac{1}{2}$=ln（2×$\frac{1}{2}$）=0，
即实数b的取值范围是b≤0．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用问题，也考查了利用函数的单调性求最值的应用问题，考查了转化思想，是综合性题目．