Question

已知函数f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）cos

x

2

+

1

2

，x∈R，
（1）求f（x）的最小正周期、对称中心及单调递增区间；
（2）求f（x）在区间[o，π]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式对函数解析式化简，根据三角函数的性质求得其最少正周期，对称中心及递增区间．
（2）根据x的范围和三角函数的图象求得函数最大和最小值．

解答： （1）解：f（x）=2sin（

x

2

+

π

6

）cos

x

2

+

1

2

=2（

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

）cos

x

2

+

1

2

=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

+

1

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1
=sin（x+

π

6

）+1
T=

2π

1

=2π，
令x+

π

6

=kπ，k∈Z，x=kπ-

π

6

，
∴函数的对称中心为（kπ-

π

6

，1），
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，即2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

，
∴函数的单调增区间为[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[0，π]，
∴

π

6

≤x+

π

6

≤

7π

6

，
∴

1

2

≤sin（x+

π

6

）+1≤2
即函数的最大值2，最小值

1

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．要求学生对三角函数的图象能熟练掌握．