Question

设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0，不等式e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，则a的取值集合是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,导数的综合应用

分析：利用导数可求得f（x）的单调区间，由f（1）=-1+a≥e-1可得a≥e，从而可判断f（x）在[1，e]上的单调性，得到f（x）的最大值，令其小于等于e²可得答案．

解答： 解：f′（x）=

a2

x

-2x+a=

-(2x+a)(x-a)

x

，
∵x＞0，又a＞0，
∴x∈（0，a）时f′（x）＞0，f（x）递增；x∈（a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）递减．
又f（1）=-1+a≥e-1，
∴a≥e，
∴f（x）在[1，e]上是增函数，
∴最大值为f（e）=a²-e²+ae≤e²，
又a≥e，
解得a=e，
∴a的取值集合是{e}，
故答案为：{e}．

点评：该题考查函数恒成立问题、利用导数研究函数的单调性及最值，考查转化思想，利用f（1）=-1+a≥e-1得a的范围是解题关键．