Question

f（x）=2cos²x-2acosx-1-2a的最小值为g（a），a∈R
（1）求g（a）；
（2）若g（a）=

1

2

，求a及此时f（x）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二倍角公式对函数解析式化简，配方后，讨论

a

2

的范围确定g（a）的解析式，最后综合即可．
（2）利用每个范围段的解析式求得a的值，最后验证a即可．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-2acosx-1-2a=2（cosx-

a

2

）²-

a2

2

-2a-1，
当-1≤

a

2

≤1，g（a）=-

a2

2

-2a-1，

a

2

＞1时，时g（a）=1-4a

a

2

＜-1时，g（a）=1，
综合以上，g（a）=

1，a＜-2 - a2 2 -2a-1，-2≤a≤2 1-4a，a＞2

；
（2）令1-4a=

1

2

求得a=

1

8

不符合题意，
令-

a2

2

-2a-1=

1

2

，求得a=-1或-3（舍去）
故f（x）的最大值为5，a的值为-1．

点评：本题主要考查了二次函数的性质，函数思想的运用，分段函数等知识．考查了学生综合素质．