Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的长分别是a，b，c，且c=2，C=

π

3

．
（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b；
（2）若sin（A+B）+sin（2A+C）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入得到关于a与b的关系式，再利用三角形面积公式列出关系式，将sinC的值代入得到另一个关系式，联立即可求出a与b的值；
（2）已知等式变形后，整理得到sinBcosA=2sinAcosA，分cosA=0与cosA≠0两种情况，分别求出a与b的值，确定出三角形面积即可．

解答： 解：（1）∵在△ABC中，c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即a²+b²-ab=4①，
∵△ABC的面积等于

3

，
∴

1

2

absinC=

3

，即ab=4②，
联立①②，解得：a=b=2；
（2）已知等式sin（A+B）+sin（2A+C）=2sin2A，变形得：sin（B+A）+sin（B-A）=4sinAcosA，
即sinBcosA=2sinAcosA，
当cosA=0，即A=

π

2

时，B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

；
当cosA≠0时，得到sinB=2sinA，利用正弦定理化简得：b=2a，
联立得：

a2+b2-ab=4 b=2a

，解得：

a= 2 3 3 b= 4 3 3

，
则S_△ABC=

1

2

absinC=

2 3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．